1.ในการแข่งขันฟุตบอล คณะกรรมการจัดการแข่งขันจัดให้มีการแข่งขันแบบพบกันหมดปรากฏว่าต้องจัดให้มีการแข่งขันทั้งหมด 36 คู่ การแข่งขันนี้มีทีมเข้าร่วมการแข่งขันจำนวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 6
2. 8
3. 9
4. 12
คำตอบที่ถูกคือข้อ 3
สมมุติให้จำนวนทีมที่เข้าร่วมการแข่งขันมี n ทีม ดังนั้นเราจะได้
n(n - 1) = 72
n = 9
2. จำนวนเต็มคี่ที่อยู่ระหว่าง 100 และ 999 ซึ่งมีหลักหน่วยหรือหลักร้อยเป็นจำนวนเฉพาะ มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับข้อใด
1. 350
2. 380
3. 470
4. 500
คำตอบที่ถูกคือข้อ 1
ให้ A แทนเซตของจำนวนเต็มคี่ที่อยู่ระหว่าง 100 และ 999 ซึ่งมีหลักหน่วยจำนวนเฉพาะจะได้
n(A) = 9 x 10 x 3 = 270 (หลักร้อย 1-9, หลักสิบ 0-9, หลักหน่วย 3, 5, 7)
และให้ B แทนเซตของจำนวนเต็มคี่ที่อยู่ระหว่าง 100 และ 999 ซึ่งมีหลักร้อยจำนวนเฉพาะจะได้
n(B) = 4 x 10 x 5 = 200 (หลักร้อย 2, 3, 5, 7 หลักสิบ 0-9, หลักหน่วย 1, 3, 5, 7, 9)
พบว่า A ∩ B คือเซตของจำนวนเต็มคี่ที่อยู่ระหว่าง 100 และ 999 ซึ่งมีหลักหน่วยและหลักร้อยเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นเราจะได้
n(A ∩ B) = 4 x 10 x 3 = 120 (หลักร้อย 2, 3, 5, 7 หลักสิบ 0-9, หลักหน่วย 3, 5, 7)
เพราะฉะนั้น n(A U B) = n(A) + n(B)n(A ∩ B) = 270 + 200 - 120 = 350
3. มีลูกแก้ว 7 ลูกซึ่งมีสีต่างกันหมดโยมีสีแดง สีขาว สีน้ำเงิน และสีอื่นๆ จำนวนวิธีที่จะวางลูกแก้วเป็นวงกลมโดยให้สีน้ำเงินเรียงติดอยู่กับสีขวาและสีแดงเท่ากับข้อใด
1. 24
2. 48
3. 120
4. 240
คำตอบที่ถูกคือข้อ 2
จากโจทย์ ลูกแก้ว 7 ลูก คือ แดง, น้ำเงิน, ขาว + อีก 4 ลูก
นำไปจัดเป็นวงกลมได้ 4! = 24 วิธี
ในกลุ่ม แดง น้ำเงิน ขาว สามารถจัดโดยให้สีน้ำเงินอยู่ตรงกลางได้ 2 แบบ
ดังนั้นจำนวนวิธีในการจัดตามที่โจทย์ต้องการ คือ 2 x 24 = 48 วิธี
4. วิธีในการเขียนจำนวนคู่ที่มีสามหลักจากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยหลักร้อยและหลักหน่วยเป็นตัวเลขที่แตกต่างกัน และมีค่าไม่น้อยกว่า 200 มีจำนวนวิธีเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 72
2. 71
3. 60
4. 59
คำตอบที่ถูกคือข้อ 3
แบ่งเป็น 2 กรณี
กรณที่ 1 หลักหน่วยคือ 0
จะได้ว่า สามารเลือกตัวเลขวางที่หลักร้อยได้ 4 วิธี คือเลข 2, 3, 4, 5
สามารเลือกตัวเลขวางที่หลักสิบได้ 6 วิธี คือเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5
เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ 1 x 4 x 6 = 24
กรณที่ 2 หลักหน่วยคือ 2, 4
จะได้ว่า สามารเลือกตัวเลขวางที่หลักร้อยได้ 2 วิธี คือเลข 2, 4
สามารเลือกตัวเลขวางที่หลักร้อยได้ 3 วิธี คือเลข 3, 5 และตัวเลข 2 หรือ 4 ที่เหลือจากหลักหน่วย
สามารเลือกตัวเลขวางที่หลักสิบได้ 6 วิธี คือเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5
เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีทั้งหมดคือ 2 x 3 x 6 = 36
ดังนั้น เมื่อรวมทั้งสองกรณีจะได้ว่า จำนวนวิธีทั้งหมดคือ 24 + 36 = 60
5. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. จำนวนวิธีในการจัดเด็ก 5 คน และผู้ใหญ่ 5 คน ถ่ายรูปหมู่ โดยให้เด็กยืนแถวหน้าและผู้ใหญ่ยืนแถวหลังเท่ากับ 5!5!
ข. จำนวนวิธีในการจัดผู้ชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งโต๊ะกลม 2 โต๊ะที่ต่างกัน ซึ่งมีโต๊ะละ 6 ที่นั่ง โดยที่ ชาย และ หญิง นั่งแยกโต๊ะกัน เท่ากับ 5!5!
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก และ ข. ผิด
3. ก. ผิด และ ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด
คำตอบที่ถูกคือข้อ 2
พิจารณา ก.
จำนวนวิธีในการจัดเด็ก 5 คนยืนแถวหน้าคือ 5!
จำนวนวิธีในการจัดผู้ใหญ่ 5 คนยืนแถวหลังคือ 5!
ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดเด็ก 5 คน และผู้ใหญ่ 5 คน ถ่ายรูปหมู่ โดยให้เด็กยืนแถวหน้าและผู้ใหญ่ยืนแถวหลังเท่ากับ 5!5! แสดงว่า ข้อความในข้อ ก. ถูก
พิจารณา ข.
จำนวนวิธีในการจัดผู้หญิง 6 คนนั้งโต๊ะกลมคือ (6 - 1)! = 5!
จำนวนวิธีในการจัดผู้ชาย 6 คนนั้งโต๊ะกลมคือ (6 - 1)! = 5!
โต๊ะผู้ชาย และโต๊ะผู้หญิงสามารถสลับที่กันได้ 2! วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดผู้ชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งโต๊ะกลม 2 โต๊ะที่ต่างกัน ซึ่งมีโต๊ะละ 6 ที่นั่ง โดยที่ ชาย และ หญิง นั่งแยกโต๊ะกัน เท่ากับ 5!5!2! แสดงว่าข้อความในข้อ ข. ผิด
ที่มา
http://www.vcharkarn.com/vexam/index.php/sets/newest/105 
